今回の復習テストです。
範囲は、文章題で和差算、分配算。

《問い》
赤玉と白玉が100個ずつあります。これを3つの袋Ａ，Ｂ，Ｃに、次の(ア)〜(エ)のように分けました。
このとき、後の問いに答えなさい。
(ア)どの袋にも赤玉と白玉の2種類の玉が入っている。
(イ)Ｂの赤玉の個数とＣの白玉の個数は同じ。
(ウ)Ａの白玉の個数は、Ｂの白玉の個数より2個少ない。
(エ)ＡとＣは、どちらも白玉の個数の方が赤玉の個数より3個多い。

(1)Ｃの赤玉の個数は、Ａの赤玉の個数より何個多いですか。
(2)Ｃの白玉の個数は何個ですか。

息子は線分図でやってみてダメだったようです。
これは和差算というより、消去算に近いようにも思います。そういう区別は関係なのでしょうが。
解答を見ていないので、塾のやり方は知らないのですが、
表で条件整理をして、準方程式で解くのがいいのか……a.案
表で整理した後に、線分図に表して解くのがいいのか……b.案
応用が利くやりかたは、どちらが良いと思われますか？
因みに、正答率二桁と思うので、息子にはもう一回じっくり解かせてみるつもりです。

応用性はa案です。
> 表で条件整理をして、準方程式で解くのがいいのか……a.案
> 表で整理した後に、線分図に表して解くのがいいのか……b.案
b案は数量関係の押えに使う(移項の概念を理解する必要がありません)ことです。
一応、解答を作成しましたので、ご覧下さい。
答えが違っていましたら、御免なさい。
http://cineaste.tripod.co.jp/answer/020928/quest.htm

> 応用性はa案です。
わかりました。
線分図は視覚的理解が必要なときに、使って見ることにします。

> 一応、解答を作成しましたので、ご覧下さい。
> 答えが違っていましたら、御免なさい。
> http://cineaste.tripod.co.jp/answer/020928/quest.htm
やはり、消去算と思ってよろしいのでしょうか。
解答右側の下から4行目、○いダッシュ、に置き換えるとき
98のところが95となっています。どこにも無い数字なんですが。
来週から比に入ります。
質問を整理中です。
では、また宜しく御願いします。

> やはり、消去算と思ってよろしいのでしょうか。
> 解答右側の下から4行目、○いダッシュ、に置き換えるとき
> 98のところが95となっています。どこにも無い数字なんですが。
→修正しました。

子供には、
1)問題文を表に整理する
2)わかっている条件を、例えばaとする
というヒントを与えてやらせてみました。
5分で出来れば映画券という条件を付けました。
アクション映画好きでして、やる気が出るらしいのです。
ところが出来ません。
一応、表を作ったようですが、赤玉、白玉が100個であるという条件を使えていなかったようです。

ところで、倉本先生の答案の(□1)とか(○1)という表現ですが、
倍数算などで、(□1)が倍になった時に(□2)と書き表す手法は効果的でしょうか。
比が出てくる時も、(○1)を(○3)などとして、最後に(○1)を求めるという解法が
あったように記憶してます。
同じ方程式的解法でも、小学生的なやり方なのかなと思いました。

> 子供には、
> 1)問題文を表に整理する
> 2)わかっている条件を、例えばaとする
> というヒントを与えてやらせてみました。
> 5分で出来れば映画券という条件を付けました。
> アクション映画好きでして、やる気が出るらしいのです。
> ところが出来ません。
> 一応、表を作ったようですが、赤玉、白玉が100個であるという条件を使えていなかったようです。
→条件を落としていては解けませんね。

> ところで、倉本先生の答案の(□1)とか(○1)という表現ですが、
> 倍数算などで、(□1)が倍になった時に(□2)と書き表す手法は効果的でしょうか。
→下にコメントしました。効果的です。倍数変化算など鬱陶しいですね。線分図では。

> 比が出てくる時も、(○1)を(○3)などとして、最後に(○1)を求めるという解法があったように記憶してます。
> 同じ方程式的解法でも、小学生的なやり方なのかなと思いました。
→○□での処理は最初からあるわけではありません。倍数算などで線分図を活用するとき、○□で表現します。それに慣れてくれば、線分図の鬱陶しさから逃れるため、線分図を外してしますのです。
さらに○をｘ、□をｙとすれば、方程式につながっていきます。
要するに、○□は、算法と方程式の狭間にある方法と考えて下さい。
そうすれば、方程式に移行するときに、とまどいを感じないのではないかとも考えています。
追：移項の概念を教え込むのはなかなか難しそうです。そのため、移項の概念が必要な部分では線分図は効果を発揮します。
　それも慣れて来れば必要がなくなるはずです。

> さらに○をｘ、□をｙとすれば、方程式につながっていきます。
> 要するに、○□は、算法と方程式の狭間にある方法と考えて下さい。
> そうすれば、方程式に移行するときに、とまどいを感じないのではないかとも考えています。

追加質問です。
この方式は、x=□とすると
2x=2×□ ではなく
2x=(□2)
という表現法をとるということです。
これは、○、△でも使えるし、3元方程式まで有効ということです。
これは有効だと思うのですが、決まり事として身に付かせておく必要があると思います。
何年のどの時期、どの単元からやるべきなのでしょうか。
私としては、比の単元で、
これを(△1)とすると、相似で比が2:3だから(△2)対(△9)という表現(面積だと)が出てくる
のに違和感を覚えてしまいます。
もっと以前に、このような表現法を練習しておくべきではないのかな、と思うのです。

> 追加質問です。
> この方式は、x=□とすると
> 2x=2×□ ではなく
> 2x=(□2)
> という表現法をとるということです。
> これは、○、△でも使えるし、3元方程式まで有効ということです。
→３元か４元が限界ですね。
　それ以上（年令算など）の場合、文字を使うことになります。○□△から、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、の世界への変換です。ｘ、ｙ、ｚよりＡ、Ｂ、Ｃの方が馴染みがありそうです。

> これは有効だと思うのですが、決まり事として身に付かせておく必要があると思います。
> 何年のどの時期、どの単元からやるべきなのでしょうか。
→このトッピクの別の場所（�ｂQ５５）をご覧下さい。

> 私としては、比の単元で、
> これを(△1)とすると、相似で比が2:3だから(△4)対(△9)という表現(面積だと)が出てくるのに違和感を覚えてしまいます。
→２：３は数学では、２ｘ：３ｘとするのが普通？です。
　面積比は４ｘの２乗：９ｘの２乗となります。約分して、４：９ですね。
　△を使うと、△を二重に書く必要がありそうです。
　私の場合、二乗しないといけない場合には、敢えて長さの比では△を書かないようにしています。
　子供たちは、二重△で処理していることもあります。

> もっと以前に、このような表現法を練習しておくべきではないのかな、と思うのです。
→４年生の頃ですか？　５年生で十分だと思います。
　抽象的な内容や処理方法は、４年では早熟だと感じます。具体性の世界での理解をまず確保することが大切です。
　子供の理解度によっては、６年になっても、受験期になっても駄目なものはダメです。保護者が面倒見ていない、大人の理解に合わせてしまっているのが原因なのかも知りませんが。

> これを(△1)とすると、相似で比が2:3だから(△2)対(△9)という表現(面積だと)が出てくる

すいません。m(_ _;)m
2:3→4:9
ですね。

表の重要性を教えるために、前回の復習テストをさせてみました。

《問い》
4枚のカード、0,4,7,8があり、このうち何枚かを選んで並べて整数とを作ります。このときできる
最小の整数は０、最大の整数は8740となります。次の問に答えなさい。
(1)全部で何通りの整数が出来ますか。
(2)できるすべての整数の和を求めなさい。

これは難しいと思ったので、自分でやってみました。
14分かかって、間違いでした。(;_;)
息子は手が出なかったようです。
正答率は、(1)が42%(2)が3%、(3,900人)
120人が解けてるというのがすごいと思います。

さて、今回やらせてみても、正答しないですね。
(1)の49、はできるのですが、(2)は数え間違いをしてしまう。←子供に言えませんけれど.
表作りの練習にはなったようです。

同じ復習テストで
《問い》
下のように、同じ整数が3個ずつ並んでいます。これについて、あとの問いに答えなさい。
1,1,1,4,4,4,7,7,7,10,10,10,13,13,13,……
(1)初めから100番目の数を求めなさい。
(2)初めから100番目の数までの和を求めなさい。

これは共通問題で、受験者は9,800です。
(1)の正答率が21%、(2)が2%です。この乖離が理解できないですね。
このあたりが小学生の発達段階ということなのでしょう。

息子に関しては、
中数のステップ･アップ演習の
《問い》6･14
4枚のカード0,1,2,3があります。このうち3枚を選んで左から1列にならべて3けたの整数をつくるとき、
次の問に答えなさい。
(1),(2)略
(3)できた整数のうち、3の倍数をすべてたすと、いくつになりますか。

は正答しているので、上記の問題に応用できるのかな、と思ったのですが、的外れだったようです。

一応解説を加えておきました。
間違っていましたら、ご連絡下さい。
なお、上の桁の問題は、正答率からいって、すべて書き出した生徒がほとんどだったように思います。
　下の問題は、書き出せなかったためと推測されます。
　まだ、５年生では理屈での処理は難しいようです。
アドレスは、
上：http://cineaste.tripod.co.jp/answer/020929-1/quest.htm
下：http://cineaste.tripod.co.jp/answer/020929-2/quest.htm
です。

このツリー全体で、お聞きしたいところを書いてみました。
No.241
の正答率は、(1)が8%、(2)が5% (4,000人中)でした。

>移項の概念を教え込むのはなかなか難しそうです。

《移項の概念》とは、どういうものなのだろうか、と考えております。
私の場合ですが、算数を教え初めて、最初につまずくのが、逆算とか□を求める問題です。
例えば、□＋▲＝○−□
を変形すると、□＋□＝○ー▲、を簡単に理解してもらう説明ができないんですね。
等式の左右に、同じものを足しても引いても(かけても割っても)、式が成り立つ。
ということを教えるのが簡単ではないのです。
結局、練習問題を通じて経験で納得するまで待つことになります。
倉本先生が、等しいものを整理する、とお書きになっているのも、
立式(等式)から移項によって解を導くということだとすれば、結局は、《移項の概念》自体
大人にとっては使い慣れたツールであるが、子供にとってはそうではないということなのか
と思っている次第です。

>抽象的な内容や処理方法は、４年では早熟だと感じます。
>具体性の世界での理解をまず確保することが大切です。

このところについてなんですが、
成長につれて、具体的な理解から抽象的な理解が出来るようになる。その過程で、線分図などから
方程式のような解法へ進歩していく、と考えた場合ですが、これは抽象的な解法が優れている
ということなのでしょうか。
果たしてそうなのだろうか、という疑問があるのです。
子供の解き方(中学生)を見ていると、速さ、比などの抽象的な問題を、具体的な解法で説明できるというほう
が優れているように感じてしまいます。
ひょっとしたら、大人と同じように面積図よりも準方程式の方が簡単だからそっちで解くように
なってしまうのかな、という気もします。

> このツリー全体で、お聞きしたいところを書いてみました。
> No.241
> の正答率は、(1)が8%、(2)が5% (4,000人中)でした。
>
> >移項の概念を教え込むのはなかなか難しそうです。
>
> 《移項の概念》とは、どういうものなのだろうか、と考えております。
> 私の場合ですが、算数を教え初めて、最初につまずくのが、逆算とか□を求める問題です。
> 例えば、□＋▲＝○−□
> を変形すると、□＋□＝○ー▲、を簡単に理解してもらう説明ができないんですね。
> 等式の左右に、同じものを足しても引いても(かけても割っても)、式が成り立つ。
> ということを教えるのが簡単ではないのです。
> 結局、練習問題を通じて経験で納得するまで待つことになります。
→ということになります。上位層にとっては、慣れていくはずです。
　ただ、一挙に２つの移項を行うのではなく、一つずつ移項していく方が分かり易いのではないかと思っています。
参考の画像です。
http://cineaste.tripod.co.jp/answer/021008-1/quest.htm

> 倉本先生が、等しいものを整理する、とお書きになっているのも、
> 立式(等式)から移項によって解を導くということだとすれば、結局は、《移項の概念》自体大人にとっては使い慣れたツールであるが、子供にとってはそうではないということなのか と思っている次第です。
→そうですね。大人の知っていることの何百分の一かの知識しか持ち合わせていないと考えて下さい。また、すぐには、１対多対応で処理できないということも。

> >抽象的な内容や処理方法は、４年では早熟だと感じます。
> >具体性の世界での理解をまず確保することが大切です。
>
> このところについてなんですが、
> 成長につれて、具体的な理解から抽象的な理解が出来るようになる。その過程で、線分図などから方程式のような解法へ進歩していく、と考えた場合ですが、これは抽象的な解法が優れている ということなのでしょうか。
→処理能力から言えば、線分図や面積図よりも、方程式の方が、問題にもよりますが、優れていると思います。それは、機械的であり個別対応ではないからです。
　ただ、数学をやっている一部の人にとっては、線分図や面積図の方が楽しい、面白い、という方もいますが、時間内に処理をしないといけない入試においては、複雑な問題になればなるほど、線分図・面積図での処理に時間がかかります。慣れるには２年や３年では短過ぎるように思います。
　ただ、方程式が万能ではなく、その立式までの過程にある【整理すること】、これが一番大切であり、今後の中学数学につながっていくこと、と思っています。

> 果たしてそうなのだろうか、という疑問があるのです。
> 子供の解き方(中学生)を見ていると、速さ、比などの抽象的な問題を、具体的な解法で説明できるというほうが優れているように感じてしまいます。
→【絵を描きながら】、【整理すること】に他ならないと思います。
　絵を描くことが具体性であり、その過程で処理方法を見いだしていくからです。

> ひょっとしたら、大人と同じように面積図よりも準方程式の方が簡単だからそっちで解くようになってしまうのかな、という気もします。
→難問の類は、線分図や面積図で【遊ぶ】のには楽しいですが。

> 参考の画像です。
> http://cineaste.tripod.co.jp/answer/021008-1/quest.htm

ありがとうございます。
もう一人子供がいれば、今度は楽できたのに。惜しい……。
○□(準方程式)に関して、比のところで質問させていただきます。

> これは難しいと思ったので、自分でやってみました。
> 14分かかって、間違いでした。(;_;)
> 息子は手が出なかったようです。
> 正答率は、(1)が42%(2)が3%、(3,900人)
> 120人が解けてるというのがすごいと思います。
→すごいですね。
　(2)２桁の場合、十の位、一の位の【４、７、８】の個数を考える。３桁、４桁も同じ方法で、処理することになります。

>
> さて、今回やらせてみても、正答しないですね。
> (1)の49、はできるのですが、(2)は数え間違いをしてしまう。←子供に言えませんけれど.
> 表作りの練習にはなったようです。
→表というより樹形図でしょうか。表でも構わないのですが。
　この問題は【場合の数】に入ります。

> 同じ復習テストで
> 《問い》
> 下のように、同じ整数が3個ずつ並んでいます。これについて、あとの問いに答えなさい。
> 1,1,1,4,4,4,7,7,7,10,10,10,13,13,13,……
> (1)初めから100番目の数を求めなさい。
> (2)初めから100番目の数までの和を求めなさい。
>
> これは共通問題で、受験者は9,800です。
> (1)の正答率が21%、(2)が2%です。この乖離が理解できないですね。
> このあたりが小学生の発達段階ということなのでしょう。
→恐らく、99番目までの和＋100ということに気づかなかったのではないかと思います。

> 息子に関しては、
> 中数のステップ･アップ演習の
> 《問い》6･14
> 4枚のカード0,1,2,3があります。このうち3枚を選んで左から1列にならべて3けたの整数をつくるとき、
> 次の問に答えなさい。
> (1),(2)略
> (3)できた整数のうち、3の倍数をすべてたすと、いくつになりますか。
>
> は正答しているので、上記の問題に応用できるのかな、と思ったのですが、的外れだったようです。
→中数の問題と、トップの問題では、レベルが違いすぎます。
　中数のこの問題ができても、トップの問題はムリではないかと思います。
　中数の問題は書き出すだけでできるからです。処理方法が一ランク上ですね。
　

>要するに、○□は、算法と方程式の狭間にある方法と考えて下さい。
>そうすれば、方程式に移行するときに、とまどいを感じないのではないかとも>考えています。
>追：移項の概念を教え込むのはなかなか難しそうです
2x=2×□
というのと、
2x=(□2)
と表すことの優劣を考えてみたいのですが、いかかですか。
表現法の問題なのですが、4年で教える、あるいは5年以降の方がいいとか、
消去算、倍数算などとの関連で、どの時期がよろしいでしょうか。

> 2x=2×□
> というのと、
> 2x=(□2)
> と表すことの優劣を考えてみたいのですが、いかかですか。
→この表記の優劣は分かりません。
　ただ、感覚的には、小学生には、□＋２×□、と□１＋□２では後者の方が計算はし易いのではないかとは思います。

> 表現法の問題なのですが、4年で教える、あるいは5年以降の方がいいとか、
→いつでもよいとは思います。保護者が常時チェックをしているという前提であれば。ただ、大人が思うほど、抽象的な事柄が頭の中には入っていきませんから、当面は線分図を添えながら理解させて下さい。

> 消去算、倍数算などとの関連で、どの時期がよろしいでしょうか。
→上記に同じです。
　ある程度できる(日能研偏差値基準で６０)子供であれば、経験上、６年の頭の段階で、自分なりの理解で、線分図をはずせそうです。
　県外難関というクラスで、５年１学期に線分図を外そうとしましたが、１回や２回の演習ではムリでした。やっと３学期当たりでは、ほぼはずせるようになってきたかな、と感じました。家庭での指導と関与がどのようなものかは分かりませんが。

> 追：移項の概念を教え込むのはなかなか難しそうです。そのため、移項の概念が必要な部分では線分図は効果を発揮します。
> 　それも慣れて来れば必要がなくなるはずです。

では、これからじっくりとやっていこうと思います。
私自身がやりながらという意味ですが。

> では、これからじっくりとやっていこうと思います。
> 私自身がやりながらという意味ですが。
→保護者の方がまずマスターしないといけませんね。
　子供の知識の対応は、１対多対応にはなっていないことを認識して下さい。
　具体性で教えるのが一番です。その具体性を徐々に外していく、急がずに。という呼吸でしょうか。
　余談になりますが、昔、家庭教師をやっていたとき、中学１年生ですが、通知表が１でした。そのとき９０分の内、半分以上は寝ていました。見るとじれったくなるためです。そのような調子でも３年生には４の下ほどまで上がっていきました。また、他の講師に話をしたら、ある家庭ではコップ酒を出してくれたそうです。
　それ以降、「寝れる家庭教師が一番」「酒を出す家庭教師先が一番」と公言してひんしゅくをいつも買っていますが、今も言い続けています。
　子供と大人の処理時間や理解時間には、大きな差があるんだ、ということを理解していただきたいためです。